图形与几何---长方形
一．概念描述
现代数学：长方形也称矩形，是特殊的平行四边形之一。即有一个角是直角的平行四边形称为长方形。
小学数学：小学数学教材没有明确的定义，一般是通过两个阶段来认识长方形：如2003年人教版教材第一阶段是在一年级上册第34页，在认识长方体的基础上，感悟面在体上，把其中的某个面画在纸上，就形成了长方形，让学生能直观认识，学会辨认。第二阶段是在三年级上册第34页，通过量一量、折一折、比一比来发现长方形的边和角的特点：对边相等，四个角都是直角，让学生能依据特征，判断图形是不是长方形。
二．概念解读
长方形从哪儿起源呢？中国古算书中，将矩形田称为直田，也称矩形图形为直田。
长方形有哪些性质？
如下图：
在平行四边形ABCD中，若∠A=R∠，则平行四边形ABCD为长方形，记作▭ABCD，读作长方形ABCD。长方形的两条邻边重，长边通常被称为长方形的长，短边通常被称为长方形的宽。
长方形是一种特殊的平行四边形，因此，它除具有平行四边形的性质外，还具有下列性质。
①四个角相等，且都是直角。
②两条对角线相等，即AC= BD。
③每条对角线分长方形为两个全等的直角三角形。
④它是轴对称图形，有两条对称轴，这两条对称轴是过长方形的对称中心，而且与该长方形相邻两边分别平行的两条直线。
⑤有一个外接圆，长方形的两条对角线都是外接圆的直径。
长方形怎样来判断呢？判定长方形有几个充分条件，满足下列条件之一的四边形就是长方形。
①有一个角是直角的平行四边形。
②两条对角线相等的平行四边形。
③邻角相等的平行四边形。
④有三个角是直角的四边形。
⑤对角线互相平分且相等的四边形。
⑥四个角相等的四边形。
⑦关于过对角线交点，且分别与两邻边平行的两条直线成轴对称的四边形。
长方形是认识平面图形的开始，数学中平面图形是怎么来的呢？图形，是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。例如，点是位置的抽象，在几何中用点来标记一个物体的位置（如地图上的城市就为点）；线是路径的抽象，我们把“从一个地方走到另一个地方”抽象为“线段，或直线段、曲线段”。
又如，观察一张书桌，它占据一定的空间，有长短、宽窄和高矮，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就被抽象成几何图形。我们继续观察，发现桌面上有四个相等的角，两两相等的对边，长和宽不相等。黑板、书本、门窗等，都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念。这样，“长方形”不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形。
三．教学建议
小学阶段认识平面图形一般来说是这样一个流程：长方形、正方形---平行四边形---三角形---梯形---圆。认识长方形是人们认识其他平面图形的基础。认识长方形不仅要发现它的特征，还要学会研究平面图形的方法，更重要的是还要发展空间观念，逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，体会图形在现实生活中的广泛应用。如何实现这个目标呢？
(1)动手操作，探究发现
“找一找”：人们观察生活，大多情况下看到的是立体的实物。我们可以让学生找一找哪些物体上的面是长方形的，把它画在纸上，就形成了平面图形。
“数一数”：大大小小的长方形，我们可以让学生数一数，每个长方形都有几条边，有几个角。
“猜一猜”：长方形的四条边有什么特点？四个角呢，可能有的学生会猜测：上下两条边相等，左右两条边相等；四个角都是直角。
“量一量”或“折一折”：如何证明我们的猜测呢？学生可以动手量一量，上下两边的长度是否相等，左右两边的长度是否相等；也可以动手折一折，上下两边对折，左右两边对折，看是否能完全重合。如果长度相等、完全重合，就能说明这个长方形是上下两边相等、左右两边相等。是不是所有的长方形都是这样呢？学生可通过大大小小、不同方位的长方形加以验证。
“比一比”：如何证明长方形的四个角是直角呢？由于学生还没有学习角的度量，但学生认识三角板中的直角，可让学生用三角板中的直角与长方形的四个角比一比。如果完全重合，就说明这四个角是直角。
通过找、数、猜、量、折、比的体验活动，让学生经历的是发现平面图形特征的过程，印证的是长方形边和角的特征，为今后判断长方形提供了依据，也为今后研究其他平面图形奠定了基础。
(2)认识长方形、发现其特征是学习长方形的开始
在今后的学习中，长方形的周长、长方形的面积、长方体的表面积、长方体的体积，会让学生更深入地理解长方形。
四．推荐阅读
(1)《数学辞海》（裘光明，山西教育出版社，2002）
该书第135页论述了长方形的意义和性质、判定。
(2)《<义务教育数学课程标准（2011年版）>解读》（史宁中，北京师范大学出版社，2012）
该书第九章“图形与几何”部分的第1 80-181页论述了从实物到几何图形的抽象过程，提出了图形认识的基本途径。
图形与几何---长方形
一．概念描述
现代数学：长方形也称矩形，是特殊的平行四边形之一。即有一个角是直角的平行四边形称为长方形。
小学数学：小学数学教材没有明确的定义，一般是通过两个阶段来认识长方形：如2003年人教版教材第一阶段是在一年级上册第34页，在认识长方体的基础上，感悟面在体上，把其中的某个面画在纸上，就形成了长方形，让学生能直观认识，学会辨认。第二阶段是在三年级上册第34页，通过量一量、折一折、比一比来发现长方形的边和角的特点：对边相等，四个角都是直角，让学生能依据特征，判断图形是不是长方形。
二．概念解读
长方形从哪儿起源呢？中国古算书中，将矩形田称为直田，也称矩形图形为直田。
长方形有哪些性质？
如下图：
在平行四边形ABCD中，若∠A=R∠，则平行四边形ABCD为长方形，记作▭ABCD，读作长方形ABCD。长方形的两条邻边重，长边通常被称为长方形的长，短边通常被称为长方形的宽。
长方形是一种特殊的平行四边形，因此，它除具有平行四边形的性质外，还具有下列性质。
①四个角相等，且都是直角。
②两条对角线相等，即AC= BD。
③每条对角线分长方形为两个全等的直角三角形。
④它是轴对称图形，有两条对称轴，这两条对称轴是过长方形的对称中心，而且与该长方形相邻两边分别平行的两条直线。
⑤有一个外接圆，长方形的两条对角线都是外接圆的直径。
长方形怎样来判断呢？判定长方形有几个充分条件，满足下列条件之一的四边形就是长方形。
①有一个角是直角的平行四边形。
②两条对角线相等的平行四边形。
③邻角相等的平行四边形。
④有三个角是直角的四边形。
⑤对角线互相平分且相等的四边形。
⑥四个角相等的四边形。
⑦关于过对角线交点，且分别与两邻边平行的两条直线成轴对称的四边形。
长方形是认识平面图形的开始，数学中平面图形是怎么来的呢？图形，是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。例如，点是位置的抽象，在几何中用点来标记一个物体的位置（如地图上的城市就为点）；线是路径的抽象，我们把“从一个地方走到另一个地方”抽象为“线段，或直线段、曲线段”。
又如，观察一张书桌，它占据一定的空间，有长短、宽窄和高矮，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就被抽象成几何图形。我们继续观察，发现桌面上有四个相等的角，两两相等的对边，长和宽不相等。黑板、书本、门窗等，都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念。这样，“长方形”不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形。
三．教学建议
小学阶段认识平面图形一般来说是这样一个流程：长方形、正方形---平行四边形---三角形---梯形---圆。认识长方形是人们认识其他平面图形的基础。认识长方形不仅要发现它的特征，还要学会研究平面图形的方法，更重要的是还要发展空间观念，逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，体会图形在现实生活中的广泛应用。如何实现这个目标呢？
(1)动手操作，探究发现
“找一找”：人们观察生活，大多情况下看到的是立体的实物。我们可以让学生找一找哪些物体上的面是长方形的，把它画在纸上，就形成了平面图形。
“数一数”：大大小小的长方形，我们可以让学生数一数，每个长方形都有几条边，有几个角。
“猜一猜”：长方形的四条边有什么特点？四个角呢，可能有的学生会猜测：上下两条边相等，左右两条边相等；四个角都是直角。
“量一量”或“折一折”：如何证明我们的猜测呢？学生可以动手量一量，上下两边的长度是否相等，左右两边的长度是否相等；也可以动手折一折，上下两边对折，左右两边对折，看是否能完全重合。如果长度相等、完全重合，就能说明这个长方形是上下两边相等、左右两边相等。是不是所有的长方形都是这样呢？学生可通过大大小小、不同方位的长方形加以验证。
“比一比”：如何证明长方形的四个角是直角呢？由于学生还没有学习角的度量，但学生认识三角板中的直角，可让学生用三角板中的直角与长方形的四个角比一比。如果完全重合，就说明这四个角是直角。
通过找、数、猜、量、折、比的体验活动，让学生经历的是发现平面图形特征的过程，印证的是长方形边和角的特征，为今后判断长方形提供了依据，也为今后研究其他平面图形奠定了基础。
(2)认识长方形、发现其特征是学习长方形的开始
在今后的学习中，长方形的周长、长方形的面积、长方体的表面积、长方体的体积，会让学生更深入地理解长方形。
四．推荐阅读
(1)《数学辞海》（裘光明，山西教育出版社，2002）
该书第135页论述了长方形的意义和性质、判定。
(2)《<义务教育数学课程标准（2011年版）>解读》（史宁中，北京师范大学出版社，2012）
该书第九章“图形与几何”部分的第1 80-181页论述了从实物到几何图形的抽象过程，提出了图形认识的基本途径。
