相切斜率的关系(相切)

中考必备数学：最美的距离——相切

切向速度和线速度是一回事吗？读罢本文你就会明白

切向速度，是与做曲线运动的物体相切的任一点测量的。因此，角速度ω与与切向速度Vt之间的关系可用公式表达为 Vt =ωr，其中r是曲线运动的半径。任意时刻测量的沿圆周运动的分量，就是切向速度。顾名思义，切向速度描述了物体沿圆周的运动，并且始终和该圆相切。

众所周知，从行驶中的汽车上跳下非常危险，当然也很刺激。孩子们可能体会到的是9岁时从旋转木马跳下的感觉——如果不是兄弟姐妹把你踹飞的话。除了感受一秒钟的恐惧感和泥土的气息，我还常常在想，为什么我从边缘飞出的距离，要比从中间飞出的孩子远？

闲话少叙，我们进入本文主题：切向速度！

首先，什么是切线？

切线是一条刚好触碰到函数上某一点的直线。此处的函数，定义为任何非线性曲线，表示一个方程式——平面直角坐标系中x和 y之间的关系。

例如，考虑我们最熟悉的曲线：圆。圆由标准方程定义。这意味着对于固定半径r，指定的 x和 y值会绘制出美丽的弧线，跟贪吃蛇结束时一样。

图解：以原点为圆心的圆。

简单起见，我考虑中心在原点的圆，即圆心在(0,0)，其中r是半径，就是原点到圆周的距离。

图解：非线性路径的各个边上的切线。

顾名思义，切向速度描述了物体沿圆周的运动，该物体在圆周上任一点的方向始终与圆周相切。但该概念不仅限于匀速圆周运动，也适用于所有非线性运动。如果物体通过非线性曲线从点A移到点B，则红色箭头表示该轨迹上各个点的切向速度。

我们继续研究这个圆。

切向速度公式

首先计算角位移q，它是物体在圆周运动时的圆弧轨迹s的长度与半径r的比值，即圆弧投影下位于从中心开始并连接到其两端的两条线之间的角部分，单位是弧度。

角速度就是物体角位移的变化率，用ω表示，其标准单位为弧度/秒(rad/s)。与线速度不同，它只适用于圆周运动，本质上是角位移扫掠的速率。

图解：匀速圆周运动中线速度或切向速度的推导。

角速度的线性分量就是线速度，即物体线性位移的变化率。线性位移是上面提到的的圆弧轨迹的长度，半径r和角位移q乘积的导数就是物体的线速度。半径是常数，不包括在运算中；物体的线速度就是角速度和圆弧轨迹半径的乘积。

圆周运动的物体，在任意时刻的线速度，等于它的切向速度！

线速度还可以用周期来定义。如果把物体绕圆旋转一次所需的时间定义为周期，则其圆周运动的速度为s / t（距离/时间）。

图解：线速度或切向速度v与周期 T之间的关系推导。

T的倒数叫作频率，是每秒包含的周期数，用f表示。 2pf的乘积称为角频率，用w表示，这有助于我们得出先前的结果。

矢量积

注意切向速度是矢量，既有大小也有方向。标准符号上方的箭头表示矢量。切向速度的方向即使在不断变化，矢量积也是不变的。所有矢量都可以写成两个矢量的矢量积，也就是两个矢量的长度大小和它们之间夹角正弦的乘积，矢量积的方向和原先两矢量垂直。

图解 :为什么切向速度的值不随方向的变化而变化呢？也就是说，任一点的切向速度，数值相同但方向不同。

我们需要算矢量积的是半径r和角速度ω。根据右手定则，如果用右手握住旋转轴并沿物体的旋转方向旋转手指，则拇指指向角速度方向，很明显角速度和半径垂直。并且由于90度角的正弦值为1，因此在圆周上任意点得到的两者矢量积将始终保持不变。

有趣的是，物体在圆周内和圆周上具有相同的角速度，但切向速度不同。如其公式所示。这是因为半径的差异。因此，从旋转木马边飞出的人比从内部飞出的人速度更快，落点更远。

图解：离圆心越远线速度越大。

为什么要研究这个问题？

切向速度适用于多种情境，包括所有非线性运动。例如从秋千突然跳下、卫星（或地球本身）偏离其圆形轨道的情况。卫星或地球的圆周运动发生在一个神秘的区域，在该区域中向内拉动它的向心力被直线向前推动的线速度抵消了。

图解：地球由于其线性或切向速度而向太空缩放。

但是，如果地球或太阳突然消失，我们的圆周运动就停止了，并因为线速度的存在而被立刻抛入深空。重力消失的瞬间，我们会划出一道直线，这便是切线。

参考资料

1.Wikipedia百科全书

2.天文学名词

3. Domi- sciabc

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“相切、相切、半径”方式绘制圆 CAD 制图 AutoCAD 实战教程 工程制图

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1.1、先绘制出能够确定位置的对象，再通过“过渡对象”与“确定位置对象”之间的关系，绘制出“过渡对象”。

1.2、本来想直接用“追踪”定位更简捷的，又一想之后还是要绘制中心线，所以还是先绘制中心线来定位。

1.3、如果已知一个圆与另外两个已经确定位置的对象相切，并且半径已经给定，那么首选“相切、相切、半径”方式绘制该圆。

1.4、如果绘制两个圆的公切圆时不知道该怎样捕捉“递延切点”，看下面这个教程，有详细讲解和实例演示。

绘制两圆的各种公切圆 CAD 制图 AutoCAD 实战教程 机械制图 工程制图

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2.1、按键盘上的“F8”键，打开“正交”，命令行输入“L”后回车，启用“直线”命令，绘制一条白色水平线段AB，一条白色竖直线段AC，两条线段交于点A。

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2.2、命令行输入“O”后回车，启用“偏移”命令，进行以下偏移操作。

将白色竖直线段AC向右偏移61个单位，得到的白色竖直线段DG与白色水平线段AB交于点E。

将白色竖直线段DG向右偏移24个单位，得到的白色竖直线段FH与白色水平线段AB交于点B。

将白色水平线段AB向下偏移11个单位，得到的白色水平线段GH与白色竖直线段DG交于点G。

2.3、命令行输入“C”后回车，启用“圆”命令，绘制以下圆。

捕捉点A为圆心，绘制一个半径为7个单位的红色圆A。

捕捉点B为圆心，绘制一个半径为4个单位的黄色圆B。

捕捉点E为圆心，绘制两个红色同心圆E，半径分别为20个单位、28个单位。

捕捉点G为圆心，绘制两个黄色同心圆G，半径分别为31个单位、39个单位。

2.4、命令行输入“C”后回车，启用“圆”命令。

2.5、接着输入“T”后回车，选择“相切、相切、半径”方式绘制圆。

2.6、命令行输入“TAN”后回车，启用捕捉“切点”。

2.7、将光标移到红色圆A左下角的位置上，当出现“绿色递延切点标识”时，单击捕捉“该递延切点”作为对象与圆的第一个切点。

2.8、命令行输入“TAN”后回车，启用捕捉“切点”。

2.9、将光标移到黄色内圆G左上角的位置上，当出现“绿色递延切点标识”时，单击捕捉“该递延切点”作为对象与圆的第二个切点。

2.10、输入圆的半径值“50”后回车。

2.11、这样就通过“相切、相切、半径”绘制出了一个青色圆M，该圆分别与红色圆A、黄色内圆G相切，半径为50个单位。

2.12、同样的方法，直接回车，再次启用“圆”命令，接着输入“T”后回车，选择“相切、相切、半径”方式绘制一个青色圆N，该圆分别与红色圆A、黄色外圆G相切，半径为50个单位。

2.13、命令行输入“TR”后回车，启用“修剪”命令，根据绘图需要进行修剪，完成后如下图。

至此，整幅图绘制完毕。

2.14、使用“图层”管理图形，标注尺寸，最终完成效果见下图。

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直线与圆相切问题，7种方法中，结论法你用过几次？

这是一个求切线方程问题，看起来是比较容易做的，所以大家看看下面这7种解法，你想到了吗？

方法1，利用d＝r，题目前提已经考虑过斜率是存在的，所以再没有赘述，同学们做的时候也是要交代的哦，通过点斜式写出直线方程就顺理成章了，接下来利用点到直线的距离d＝r，解出k，求得切线方程。

方法3利用相切垂直斜率乘积为-1，也是比较常规容易想到和做到的，同学们会发现，一般做圆的问题，先化成标准方程对后面的解题是有利的

向量法则是常用方法，尤其理科生再处理问题的时候可能更偏爱向量法，初中过度到高中，有的几何法做确实不容易，但是向量法就直接简单，所以这个方法大家可以多试试

上面七种方法，也并不是每一种都方便好用，只是大家要学会一种思维方法，比如上面这个判别式法，这种思维方法贯穿曲线方程始终，可以直白点，熟读唐诗三百首，不会做来也会吟，大体就是这个一起啦，直线与圆相切嘛，δ为0，剩下的就出来了。

怎么样呢？方法是不是有点太多了消化不了呀，没关系，挑你最擅长拿手的来练吧，加油哦同学们