高考数学多选题：人造金刚石中的立体几何，立方八面体，割补法
第712课通关高考数学：人造金刚石中的立体几何，立方八面体，割补法。
下面时间，我们看一下高考数学总复习第712课，这是一道立体几何的多选题。题目大致如下：
在20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术可以人工合成金刚石，人工合成金刚石主要有如下结构，第一个是立方体，第二个是八面体，第三个是立方八面体，以及它们的过渡形态。
其中立方八面体如图，一共有24条棱，12个顶点，14个面，这14个面包括了六个正方形和八个正三角形。它是将立方体切去八个角得到的这么一个几何体，这个几何体所有的棱长都是1，那你看一看这个几何体你熟悉吗？当然不熟悉了，但是立方体我们是非常熟悉的，所以我们把它还原成立方体，由于每一个棱长都是1，说明三角形是边长为1的等边三角形，正方形是边长为1的正方形.
那这样的话，还原以后的立方体的边长是多少呢？根据勾股定理求得立方体的边长就是根号二。
我们看一下四个选项，A选项让我们判断所有的顶点均在同一个球面上，该球的直径为2。那你思考一下，想想球心在哪里呢？球心是这个立方体的中心。直径是什么呢？直径正好是正方体的面对角线，因此直径是二，根据对称性很明显，这些顶点都在同一个球面上，因此A选项是正确的。
我们看一下B选项，任意两条不共面的棱所在的直线都相互垂直。我们如果能够找到一个反例，就说明B选项就是错误的，在这里面还是非常容易找到。MN和PQ两个所成的角就是60度，所以B选项是错误的。
C选项，求几何体的体积，正好是正方体的体积切去了八个角，通过计算C是正确的。
D选项，根据对称性，这是没有问题的。如果这个题改成求这个二面角是多少呢？我们就用三垂线定理的方法，求出二面角的正切值。
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跟着我们学正多面体：如何生成各类正多面体（一）
本文作者刘瑞祥，[遇见数学]感谢刘老师一直来的关注和支持！
正多面体的定义是，各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角也都全等的几何体。显然，这样的多面体，各个顶点的情况也相同，且均具有外接球和内切球、棱切球。正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，前三种很容易想象和绘制，后两种比较困难。
正多面体不但是立体几何中重要的研究对象，而且也是很多分子或晶体结构的模型，比如甲烷分子就可以看做正四面体构型，而氯化钠晶体可以看做正方体结构的，还有很多病毒是正二十面体的，如此等等。还有很多几何体可以看做是由这五种正多面体衍生出来的，所以学习正多面体也是学习很多复杂几何体的前提。除此以外，古希腊学者柏拉图以正多面体附会所谓的“元素”，即正四面体代表“火”，正方体代表“土”，正八面体代表“气”，正二十面体代表“水”，正十二面体则代表“宇宙（以太）”。开普勒亦曾以五种正多面体的内接球和外接球附会行星轨道，试图以此解释行星的运行规律。因此研究正多面体或可增进对古希腊文化和近代科学史的认识。
制作正多面体的方法有多种，我们先分两篇文章介绍如何从给定的球体出发制作正多面体，今后有机会再介绍其它做法。这些内容多出自于《几何原本》和《数学的魅力（3）》（沈康身著），只在细节上有所变化。为统一起见，下面的球心均为 O，球半径均为 1，并已作出一条直径 AB。
下面的立体图、展开图和旋转动画均由“遇见数学”提供。
正四面体Regular tetrahedron
以 AB 为直径作圆并在其上取一点 C，使 AC=2CB。取 AC,BC 的比例中项为 DC。以 DC 为作圆，圆心为 K（此即俯视图所示的圆），并作正三角形 EFG 内接此圆。作 HK 垂直于圆 K，又取 HK=AC。连接 KE,KF,KG。K-EFG 为所求的正四面体，棱长为 √6/3。
正六面体（正方体）Regular hexahedron(cube)
以 AB 为直径作圆并在其上取一点 C，使 AC=2CB。连接 BD，并以 BD 为边做正方形 EFGH；过正方形的各顶点作该正方形的垂线 IJKL；依次连接 IJKL。EFGH - IJKL 即为所求正方体，棱长为 2√3/3。
正八面体Regular octahedron
过球心 O 作垂直于 AB 的平面，与球面截得一圆；做该圆的内接正方形 CDEF；连接 AC,AD,AE,AF 以及 BC, BD, BE, BF。A-CDEF-B 即为所求，棱长为 √2。
以上三种几何体还有一些其它作法，但实质无二，故不再列举，只在后文介绍正十二面体和正二十面体的时候介绍多种作法。
