筹算：小棍上的中国古代数学智慧
【科技文明探源】
◎本报记者 孙明源
今人眼中看似简单的数字，其实是人类数学发展数万年的智慧结晶。如何表示数、记录数，采用何种进制，直接决定了数学运算、应用乃至记录传承下去的方式。阿拉伯数字具有进位明确、便于书写等优点，成为现代世界通用的计数符号。
阿拉伯数字其实是印度人的发明，因为经阿拉伯人传入欧洲而得名。学术界称为印度—阿拉伯数字。在印度人这一发明之前，中国就发展出了一套实用、完善的记数系统——算筹记数法。中国科学院自然科学史研究所研究员邹大海表示，算筹是中国古代常用的计算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子等。用算筹来记数和计算以及相应的方法，称为筹算。筹算是中国古代数学的特色。
在古代，中国数学是东亚数学的代表，在世界数学史上具有鲜明特色。邹大海认为，相比于其他地区的古代数学，中国古代数学以计算和算法见长，其主要原因之一就是普遍采用筹算，不仅产生了先进的记数法，而且有一套表示未知量和代数式的方法，它以独特的方式实现了代数符号的功能。
十进位值制记数法最早出现在中国
进制是数学的基本概念之一，其含义是“累计若干个基本单位即形成下一个单位”。人们比较熟悉的进制包括最常见的十进制、用于时间和角度计量的六十进制、计算机领域常见的二进制和十六进制等。
进制的基础上发展出了位值制观念，即数字所在的位置可以表示该数字单位对应的倍数。例如在阿拉伯数字5234当中，5所在的位置是“千”位，表示5个千，而2、3、4在“百”“十”“个”位，分别表示2个百、3个十、4个一。许多记数系统没有位值制观念，例如古埃及数字由于没有位值制观念，显得非常繁琐。
邹大海介绍，十进制最早见于古埃及；位值制最早见于古代两河流域，那里的人采用了六十进的位值制；而现代通行的十进位值制记数法则最早起源于中国。
中国人很早就采用了十进制，中国汉字的数字记法就是十进制系统。一既是基本数字，也是数字单位，此外常见的数字单位有十、百、千、万、亿、兆、京等。
例如“一兆八千五百三十亿二千一十八万八千八百五十一”这个数，只要把空着的数位用〇代替，将兆、亿、万、千、百、十等数字单位撤去，就变成“一八五三〇二〇一八八八五一”，这与现代的“1853020188851”一一对应。可见，中国文字记数法是相当先进的，可以很容易跟通行的阿拉伯数字表示法进行转化。但是，中国文字表示法只是准十进位值制，尚不完善。真正采用十进位值制的是算筹记数法。公元14世纪以前，算筹曾是广泛使用的计算工具，之后就逐渐被算盘所取代。
算筹的形象类似筷子，源于远古人们用长条形小棍计数的习惯。用算筹表示一至九有纵、横两种形式。
《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”意思是，对于一到五，是几就用几根算筹表示；对于六到九，则将其中所含的五用一根算筹放在上面表示，余下几就用几根算筹与之垂直放在下面就可以了。比如╥表示七，上面一根表示五、下面两根表示二。
对于多位数，《孙子算经》记有其算筹表示法：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”古人在个位摆纵式，十位摆横式，百位又用纵式，千位又用横式，如此纵横交错进行。邹大海强调，本来只用两式的一种就够了，但纵横交错的方法更为清晰，也不容易弄乱。算筹记数法大约产生于西周、春秋之际，也可能更早。在出土的先秦陶片和货币上可以看到这种记数法的痕迹。
筹算具有强大的记数和运算功能
筹算加减法比较简单，古人没有记载。对于复杂的乘除法，古人将算筹摆成三行，中行为乘积或被除数，下行为乘数或除数，上行为被乘数或商。利用九九口诀与算筹记数法相配合，就可以得出结果。这个过程在本质上与现代的竖式乘除法很接近。
筹算还可以求解线性方程组，在公元前1世纪成书的《九章算术》中，用一种称为“方程”的方法来表示问题和求解，其表达方式和运算方法都跟现代的增广矩阵很相似，而求解线性方程组的增广矩阵方法在欧洲是18、19世纪之交才出现的。邹大海介绍，在筹算的方程中，不同位置具有指示不同未知量和常数项的作用，相当于现代的分离系数法。正是方程导致了正负数概念的产生，古代一般用黑色和红色的算筹分别表示负数和正数。
《九章算术》也用筹算来开平方、开立方，还用来求一元二次方程的解。这种方法不断发展，到宋代已形成了一套求一元高次方程数值解的方法。宋元时代还发展出列方程的普遍方法，先是出现了针对一个未知量求解的天元术，后来发展到最多可达四个未知量的高次方程组的列法与解法——四元术，用天、地、人、物指示未知量。邹大海强调，这种方法所列出的算式中除算筹和个别汉字“太”或“元”外，不使用符号，而是通过位置来体现未知量及其幂，实现了代数符号的功能，这在某些方面甚至比现代的符号方法更具优势。
中国古代以文字和筹算配合，使得数学工作得以开展并传承。筹算以其强大的记数、符号和运算功能，在中国古代数学的发展过程中发挥了重大的作用。
后来随着商业的发展，筹算捷法和相应的口诀发展起来，之后筹算被珠算取代。珠算通过沿用、改良筹算的口诀和方法，在商业、会计和日常生活中发挥着巨大的作用。
但筹算也有其局限性。邹大海指出，筹算的缺点之一是无法保留演算的过程，中间操作有误就难以追溯。二是算筹使用起来比较占地方。三是较难实现超过四元的列式和运算。
筹算影响中国传统文化
明代天元术、四元术等失传，筹算被珠算、笔算取代，但其方法和思想仍在数学发展中发挥作用，甚至已渗透到中国思想文化的方方面面。
邹大海强调，筹算的重要意义在于制订和利用一系列规则和方法。筹算靠的主要是智力，并特别讲究精准，所以在中国传统文化中很多反映智力活动的用语都与筹算有关。比如谋划叫“运筹”“筹划”，用“运筹帷幄，决胜千里”表示指挥官在后方谋划得好让前线取得胜利。又如考虑得周全叫“算无遗策”“胸有成算”，而谋划失误则叫“失算”“失策”。其他如人们常说的“算计”“暗算”“盘算”“算命”“胜算”等词汇，皆源自古代的筹算思维。
“古人充分发掘算筹记数法中的位置功能，并用算筹来表示代数式，设计相应的运算方法，形成了中国古代独具特色的筹算传统。中国古代的算术和代数在世界上曾处于先进乃至领先地位，与筹算有很大关系。筹算是中华文化的重要组成部分，筹算的思维也对社会文化和人们的生活产生了一定影响。”邹大海说。（科技日报）
来源： 科技日报
【荐读】《道德经》中的“善数不用筹策”
《道德经》是中国古代道家学派的经典著作，它涵盖了哲学、伦理、政治等多个领域，对中国传统文化产生了深远影响。其中，“善数不用筹策”这句话表达了一种独特的思想，它涉及到数学、策略、智慧等多个方面，为我们提供了宝贵的启示。
在思想背景方面，《道德经》诞生于春秋战国时期，那时人们正处在一个思想大解放的时代。尽管各国之间经常发生战争和争斗，但知识分子们却在追求真理和智慧。老子作为当时的知识分子之一，通过自身的体悟和思考，撰写了这部经典著作。《道德经》中的“善数不用筹策”传达了一种返璞归真的思想，它提醒我们要从纷繁复杂的现象中寻找简单和自然的规律。
在词汇解析方面，“善数”可以理解为善于计算或善于运用数学原理，而“筹策”则是指计谋、策略。在当今社会，这句话对我们的启示在于，要掌握数学思维和策略运用的能力，以更好地应对生活和工作中的各种挑战。在管理思想方面，《道德经》强调领导要注重“无为而治”，即通过引导和启示来激发下属的潜力，而不是过度控制和干预。这种管理思想与当今社会提倡的“以人为本”的管理理念不谋而合，它提醒我们要注重员工的个性和需求，通过沟通和合作来实现团队目标。
在人生哲学方面，《道德经》中的“善数不用筹策”也具有深刻的意义。它教导我们，要善于运用智慧和策略来应对生活中的各种挑战，而不是盲目追求表面上的胜利。在人际关系方面，它启示我们要真诚相待，以诚信为基础建立起稳固的人际关系。在社会贡献方面，它鼓励我们要有全局观和远见卓识，关注社会的长远利益和大局的稳定，而不是局限于个人的得失和短期的利益。
结合当今社会的实际状况，我们可以从多个角度来解读“善数不用筹策”对于社会实践的启示。首先，在经济发展方面，这句话提醒我们要掌握数学思维和策略运用的能力，善于运用市场机制和经济学原理来促进经济发展。其次，在政治和治理方面，它启示我们要注重“无为而治”的管理思想，通过引导和启示来激发下属的潜力，实现政治清明和社会稳定。此外，在教育方面，我们可以教导学生掌握数学思维和策略运用的能力，培养他们成为具有创新精神和实践能力的人才。
总之，《道德经》中的“善数不用筹策”具有深远的思想内涵和现实意义。它提醒我们要掌握数学思维和策略运用的能力，注重简单和自然的规律，追求内心的平静和宁静。同时，它也提供了管理思想、人生哲学等方面的启示，为我们更好地应对当今社会的挑战提供了宝贵的指导。通过深入研究和思考《道德经》中的思想，我们可以从中汲取智慧和力量，为自己和社会创造更多的价值。#细品道德经# #妙笔生花创作挑战#
那些有关易经占卜的事，你想知道的都在这里
古人占卜方法很多，有龟占、蓍占、星占、梦占；蓍草称霸千年，如今几乎绝迹；筹策取代蓍草，成为现代人占筮的首选工具。
01 古人从何时学会占卜？人类占卜的行为出现得非常早。
以《易经》的由来为例，伏羲氏（旧石器时代中晚期）统治天下时，抬头观看天体现象，低头考察大地规则，再仔细检视鸟兽的足迹和花纹，以及山川地域的各种特性，再根据自己的经验，着手制作了八卦，叫作“观象设卦”。
伏羲氏怎么使用八卦呢？
结绳记事，就是把草结为绳，来代表卦象。先人们用这些卦象上提供的信息来预知吉凶，判断好坏。
占卜有什么用呢？
《尚书·洪范》谈到，古代天子有困惑时，需要参考5个方面的信息：
第一，自己思考怎么做；
第二，与专门负责的大臣商量；
第三，跟老百姓商量；
第四，杀龟占卜；
第五，用《易经》占卦，又叫占筮，“筮”，就是用蓍草占卜的意思。
02 古人占卜用什么工具？古人占卜不是都用铜钱吗？那您可能影视剧看多了。
事实上，古代占筮的方法有很多，主流的就有：龟占，蓍占，星占，梦占。
当然，也有使用铜钱和米粒等更容易找到的占卜工具。
其中使用最频繁，时间最悠久的，就是蓍草。
蓍草是一种多年生直立草本植物，它的茎挺而直，粗细均匀，可以保存很久。
蓍草被古人认为是“探迹索隐，钩深致远，定天下之吉凶，成天下之亶亶”的神草。
据《重修汝宁府志》中明代杨勋《蓍草台记》载：“蓍草首若龙矫，尾若凤翔，盈于台畔。伏羲氏作，取而筮之，以画入八卦之变，故名曰：‘蓍台’。”
蓍草 菊科蓍属植物
相传，最早用蓍草来作为占卜工具的，是周文王。
当年，周文王被商纣王囚禁在羑里（今河南省安阳市汤阴县羑里城）时，将蓍草与六十四卦结合，确立了占筮的理论并将其系统化。
据说，在周文王去世之后，其坟墓上长满蓍草，后人便移植续种；
后来，又传说孔子的坟墓上也曾长出过蓍草。
也正因为蓍草与周文王、孔子两位圣人联系在一起，所以蓍草不断被神秘化。
周文王姬昌（前1152年-前1056年）
据《易纬·乾凿度》记载：“蓍生地，于殷凋殒一千岁。一百岁方生四十九茎，足承天地数，五百岁形渐干实，七百岁无枝叶也，九百岁色紫如铁色，一千岁上有紫气，下有灵龙神龟伏于下。”
《说文解字》也说，蓍草“生千岁三百茎”。
这些记载，无疑增加了蓍草的神秘色彩。后代相传，此草非圣人之地而不生。
蓍草园位于淮阳伏羲太昊陵后面
03 谁够资格用蓍草占卜？在古代，蓍草不是什么人都可以随便使用的。
在先秦时期，蓍草不仅仅是占卜的工具，也是身份等级的区别和象征。
不同等级的人，所用的蓍草的长度是不一样的：
天子为最高一级，要用长高到九尺的蓍草；诸侯七尺；大夫五尺；普通百姓只能用三尺。
在当时九尺的蓍草是很少见的，而这也正凸显了周天子的地位。
而随着自然环境的变迁，蓍草已不多见；就算三尺长短、品相良好的蓍草，也已经很难找到了。
干枯的蓍草茎是制作蓍草占卜工具的原材料
04 蓍草占卜真那么准吗？在古代，蓍草和龟甲都被列为占卜的必备工具。
用龟甲占卜的过程叫做“卜”，用蓍草占卜的过程叫做“筮”，合称“卜筮”。
《左传》里关于蓍草占卜的故事特别多，其中有一则，是晋献公嫁女的故事：
晋献公让太史苏占筮，问把大女儿伯姬嫁到秦国是否吉祥？
筮得归妹卦，太史苏解释说：“不吉祥。这是男女不相与之卦！日后必是嬴姓的秦挫败姬姓的晋，晋国会被打败。”
后来，果然晋国大败，晋惠公（晋献公之子）被俘到秦国，晋惠公说：
“先君献公如果听从史苏的主张，我就不会落到今天这地步了。”
还有一则著名的故事，就是“田氏代齐”：
春秋时期，齐国国君是姜子牙的后代；但到了战国，田氏取代姜子牙的后代，成为齐国国君。
这件事就要从陈完说起。
当年陈完刚出生的时候，他的父亲就请周天子身边的太史为其占了一卦。
太史说：“这个小孩能够辅佐一个国家走向兴盛，但是他发挥作用不是在自己的国家陈国；也不是在他这一辈子，而是在他的子孙后代。”
后来，陈完跑到了齐国，投靠了齐桓公，改名田完。
他的子孙果然取代了姜氏齐国，建立了田氏齐国。
这也应验了占筮中提到的“五世其昌，并于正卿。八世之后，莫之与京”的说法。
05 没有蓍草还能占卜吗？蓍草由来已久的神秘色彩，加上历代有关蓍草占卜的传奇故事，确立了蓍草作为占卜工具的“正统”地位。
事实上，排除传说与夸张的元素，我们不难发现，古人之所以用蓍草作为占卜工具，主要原因有二：
一是，蓍草生命周期较长，人们认为它和龟一样长寿，可能具有一定的灵性，用于占卜的话会比较准确；
二是，蓍草茎干粗细均匀，长而直，不易腐坏变质，具有可数的特性，能用于计算具体的数量和日期，弥补了龟甲仅能用来占卜吉凶的缺陷。
可见，蓍草成为重要的占卜工具，也是其自身特性满足了占卜需要的结果。
但是，如今蓍草“一草难求”，难道我们就没办法学习《易经》占卜了吗？
当然不是。因为我们找到了蓍草的最佳代替者：筹策。
06 为什么要学筹策占卜？筹策，原来是古时的一种计算用具，一般为竹制。
古文字学家高亨的《老子正诂》中提到：“筹策，古时计数之竹筳也。”
同样是计数的演算工具，筹策便替代更难找到的蓍草，成为了后世最常用的占卜工具。
《易经·系辞上传》中，关于蓍草占卜的方法有记述：
大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰；五岁再闰，故再扐而后挂。《乾》之策二百一十有六，《坤》之策百四十有四，凡三百有六十，当期之日。二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也。是故四营而成《易》，十有八变而成卦。
几近失传的筹策占卜法
傅老师研究典籍记载，多方求教，终于使这种几近失传的占筮方法得以复现，并可为今人所用。
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618狂欢节，精品好课特惠来袭！
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读书｜|《红瓦黑瓦》:遇到这样的文字，你会想到什么呢？
遇到这样的文字，你会想到什么呢？
——读书||《红瓦黑瓦》
这段时间，睡前阅读的是曹文轩老师的儿童文学获奖作品系列。当读到《红瓦黑瓦》的“丑人”时，有这样一个片段引起了我的注意。原文是这样的：
“什么叫‘语文’？”她的声音很柔弱。她没有力气。但一开始就把人抓住了。我们学了十年语文，可从未想过，也没听一个老师讲过何为“语文”。她也没打算要我们回答这个问题，目中无人的样子，一字一句地讲下去。她身后的黑板始终干干净净，黑亮黑亮地衬着她，没有落下一个粉笔字。她把话题一层一层地讲开来。最后讲到文章上，她说:“人都应该能写文章，最好是写一手好文章。日后，无论走到哪儿，无论从事何种工作，都要有这个最起码的功夫。”她向我们讲了世界上几个大数学家，说他们的数学论文写得有多好，还很流利地向我们背诵了几段。
选文中，对艾雯老师讲课时的状态描写得细致入微，这是短话长说，把作者弹指一挥间的思绪写得清清楚楚。而对于艾雯老师讲课的内容就是三言两语，长话短说，一笔带过。对于“什么叫‘语文’”的具体解释，制造了文学创作的留白，给读者留下了无限遐想的空间。
作为一名语文老师，我们在面对文学创作的留白时，经常会引导学生发挥想象（或联想），填补内容，丰富情节，使故事或人物形象更加丰满。
“己所不欲，勿施于人”，意思是说，自己不想做的事，就不要强加给别人。这句话从反面来思考，就是要想让别人去做某件事，那么，首先自己就要做到。面对着这一文学创作的留白，我的心里也是千回百转：“到底什么叫‘语文’呢？为什么艾雯老师一张嘴就抓住了所有学生的心呢？她到底是怎样解释的这个概念呢？”心里这样想着，思绪早已飘飞，慢慢地，眼前便浮现出自己化身为艾雯老师，站在讲台上，侃侃而谈：
“什么叫‘语文’？
“语文就是语言和文字。换成另外一种说法就是口语表达和书面表达。用通俗易懂的说法，就是我们平时张嘴说话和拿笔写文章。
“张嘴说话，我们每个人都会，只要不是哑巴。但你真的会说话吗？未必吧！当一句话从不同人的嘴里说出来，由于神态不同，表情不同，声调不同，断句不同，表达的意思就完全不同了。有些人说话总能给人带来快乐，有些人说的话让人感觉很压抑，有些人说出的话让人很气愤……这是为什么呢？这就是老师刚刚说到的，与说话人的神态、表情、语气、动作、断句的不同有关。
“想一想，在生活中，你们经历过各种的事情，面临着不同情绪下的情景，你们都处理的恰当吗？在以后的生活中，你们还将经历各种各样的事情，面临各种各样情景，你们能恰如其分的把握好自己说话的分寸吗？
“我想，你们在座的每一位同学都想不断的完善自己，成为一个完美的人，成为一个遇事不慌张，游刃有余地，恰如其分地处理任何突发事件的人。那好，那就认真学好语文吧！因为在语文学习中，你会学到这些。
“再说拿笔写文章。我觉得，人都应该能写文章，最好是写一手好文章。日后，无论走到哪儿，无论从事何种工作，都要有这个最起码的功夫。
“当然，写文章不是每个人天生就会的，而是需要后天不断的练习才能成就的能力。
“那我们要写什么，怎么写呢？这就需要你擦亮双眼去观察身边的世界。罗丹说，‘世界上不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛’。只要你放眼望去，在你的生活中，你总会找到写作的素材。比如油麻地的河，油麻地的鸭，油麻地的学校，油麻地的人家，油麻地的我们每个人，每天都在演绎着丰富多彩的生活。这些，我们都可以写。只要把你看到的，听到的，心里想到的，顺着笔尖，让它们欢快地流淌到稿纸上就行。毕竟，创作来源于生活嘛！当然啦，创作又高于生活。要想把文章写好，还需要艺术加工和创造，这就需要我们系统地学习写作的方法和技巧。而写作的方法和技巧，就隐藏在我们的语文学习中。难道你不想把文章写好，成为写作高手吗？那就认真地学习语文吧！
“老师说让大家认真学习语文，并没有让你们不认真学习其他学科的意思。世界上有许多伟大的数学家都是我极其崇拜的人：发现勾股定理的毕达哥拉斯，几何的始祖欧几里德，写出几何的表面积和体积的计算方法的阿基米德，把圆周率推算到小数点后七位的祖冲之，创立了解析几何学的笛卡尔，和牛顿共同发现了微积分的莱布尼茨等等。这些伟大的数学家不仅在数学研究上有极大的建树，在论文写作上也是卓有成就，尤其是那一句句启发后人智慧、令人反省的名人名言。
“就拿祖冲之来说吧。他曾在著作中自述说，从很小的时候起便‘专功数术，搜烁古今’。他把从上古时起直至他生活的时代止的各种文献、记录、资料，几乎全都搜罗来进行考察。同时，主张决不‘虚推古人’，决不把自己束缚在古人陈腐的错误结论之中，并且亲自进行精密的测量和仔细的推算。像他自己所说的那样，每每‘亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策’。
“阿基米德在自己的著作中也说过很经典的话，‘有些机会因瞬间的犹豫擦肩而过，有些缘分因一时的任性滑落指间。许多感情疏远淡漠，无力挽回，只源于一念之差;许多感谢羞于表达，深埋心底，成为一生之憾。所以，当你举棋不定时，不防问问自己，这么做，将来会后悔吗?请用今天的努力让明天没有遗憾!’
“笛卡尔曾说，‘所有的好书，读起来就像同过去世界上最杰出的人们谈话。’
“看，从这些伟大的数学家的言论上我们已经发现，其他学科也有语文的影子，每个学科都需要写作。而语文学习是学好其他学科的基础。所以，我们要把语文学好，既要学好口语表达，更要学好书面表达。”
思绪回归，眼神清明，脸颊不觉得红热起来。我只是一名普通得不能再普通的小学语文教师，怎能与知识高深的高中老师比肩，怎能与文采出众的艾雯老师相提并论呢，这不是张飞在鲁班门前耍大刀——班门弄斧吗？我的脸颊涨红得厉害。惭愧，惭愧，真是惭愧至极呀！
