两圆相切的性质与判定之一
两圆相切
如果两个圆恰有一个公共点，则称两圆相切。两圆相切分为内切（一个圆在另一个圆的内部）和外切（一个圆在另一个圆的外部）两种，如下图。设两圆为圆O,圆O’,半径为R,R’,则若两圆相切于点A，则：
(1) OO’=R+R’(两圆外切时)，OO’=|R-R’|(两圆内切时);
(2)O,O’,A共线；
(3)过A的一个圆的切线为另一个圆的切线;
(4)若过A的直线与两圆交于B,C;B’,C’,则BC//B’C’。这是因为A为两圆位似中心，故B与B’,C与C’为相似对应点，从而AB/AB’=AC/AC’,则BC//B’C’。
相反的，上述性质逆过来
即可判定两圆相切，即
（1）若两圆圆心O,O’及半径确定，则若OO’=R+R’则两圆外切，若OO’=|R-R’|，则两圆内切。
（2）若已知两圆圆心O,O’及一个公共点A，若O,O’,A共线，则两圆相切。
（3）若已知两圆的一个公共点A，过A的一个圆的切线为另一个圆的切线，则两圆相切。
（4）过A的直线与两圆交于B,C;B’,C’,若BC//B’C’则两圆相切于A。这是因为△ABC和△A’B’C’以A为位似中心位似，故他们的外接圆也以A为位似中心位似，故两圆相切于A。
不难发现上述判定中(2)和(3)是等价的。
这些性质和判定都很简单，但是要运用这些判定来判定两个圆，特别是要证明三角形的外接圆与某个圆相切，一般都是比较困难的。下面看一些与两圆相切的性质和判定有关的一些问题。这些题目看起来还是比较恐怖的，很多题目也是非常复杂的，此类问题往往都是各类竞赛的压轴题。关于这个专题的文章相对较少，我写过一篇[1]，有兴趣的读者可以参考。
1.
如图，在ΔABC中，M、N是BC边上不同的两点，使得直线AM和AN关于∠BAC内角平分线对称，
求证：△ABC,△AMN外接圆相切。（2012年高中数学联赛几何题变形）
思路分析：
依题意，∠BAM=∠CAN,若两圆相切，则A显然为公切点。两圆圆心距和半径都不太好算，圆心和切线倒是不难确定，因此可以考虑用上面的判定(2)(3)(4)。所以本题对应的就可以得到三种证明方法,都是不难说明的。
证法一：
设△ABC和△AMN外心为O,O',
依题意∠BAM=∠CAN，则
∠BAO'=∠BAM+∠MAO'
=∠CAN+90°-∠ANM
=90°-(∠ANM-∠CAN)
=90°-∠C
=∠BAO
∴A,O,O'共线，
即△ABC,△AMN外接圆相切。
证法二：
设AI为△ABC外接圆切线,
依题意∠BAM=∠CAN，则
∠IAN=∠IAC+∠CAN
=∠B+∠BAM
=∠AMC,
∴AI为△AMN外接圆切线，
即△ABC,△AMN外接圆相切。
证法三：
设AM,AN交△ABC外接圆于M',N',
依题意∠BAM=∠CAN，则
M'N'//MN,
由上述判定(4)知
△AM'N',△AMN外接圆相切,
即△ABC,△AMN外接圆相切。
注：
（1）本题结构相对简单，证明也不难。据说是2012年全国高中数学联赛二试几何题的原始形式，后来经过审题人的改编，将证明结果改成求证A,O,O’共线。当然通过上述证法一可以发现改编以后难度更简单了。此联赛题应该是近二十年来最简单的联赛几何题目了。
（2）本题中公切点即为点A，角度关系也比较明确，所以适合上述判定中的(2)(3)(4)，当然不难发现上述三种证法殊途同归，最终都是通过简单倒角完成证明。
（3）本题应该还有很多其他的证法，相对而言上述三种方法应该是自然而简单的。
（4）本题中AM、AN一般称为∠BAC的等角线，是角平分线的推广。此图形中还有很多有趣而复杂的性质，这里不再赘述。不过本题的结论也算是一个重要而有用的性质。
2.
已知：如图，两圆交于P,R两点，过P的直线l和l',其中l与两圆交于A,B,
△ABR的外接圆在A,B处的切线交于C,CR交AB于D。类似的对直线l'得到A',B',C',D',
证明：△DD'P和△CC'R的外接圆相切。
(2020年沙雷金几何奥林匹克通讯赛第8题)
思路分析：
本题图形相对比较复杂，过程也比较曲折，
基本思路是先画出准确图形，挖掘图形的基本性质，
然后从结果入手，
找到公切点，证明此点在两个圆上，
最后再证明过此点的一个圆的切线与另一个圆相切。
画出准确图形以后，
容易发现，
AC和A'C'，BC和B'C'交点M,N分别在两个圆上。
此相交两圆结构是常见图形，如果对此图形比较熟悉，
容易知道其中有很多等角，
进一步AA',BB'交点L在圆RAB,RA'B'上，
这些都不难通过倒角证明。
下面从结果入手，△DD'P和△CC'R的外接圆相切，
公切点是谁呢？此点一定有丰富的性质。
在准确的图形下面可以发现，似乎DPD'R共圆，
要证明它，需要证明CC'MRN共圆即可，
这样公切点即为R。
下面只需证明过R的一个圆的切线为另一个圆的切线，
这个也容易通过倒角完成证明。
这就得到了第一种证明，具体证明过程如下：
证明一：
设AA'交BB'于L，AC交A'C'于M,BC交B'C'于N,
则∠RBB'=∠RPB'=∠RAA',
∴ALBR共圆，同理A'RB'L共圆。
∴∠MAP=∠ALB'=∠MA'P,
∴MAA'P共圆，同理NB'BP共圆。
又∠A'MR=∠RPB'=∠C'NR,
则C'MRN共圆，同理C也在此圆上。
∴∠APA'=∠AMA'=∠C'MC=∠C'RC=∠DRD',
则DPD'R共圆。
设XY为过R的圆PDD’的切线，
则∠XRC'=∠YRD'=∠RPB'=∠RNC',
∴XR为圆RCC'的切线。
综上△DD'P和△CC'R的外接圆相切于R点。
思路分析二：
本结构中有很多的等角和相似，
可以考虑直接通过
△RAB∼△RA'B'证明DPD'R共圆，
而本结构中又有CRD,C'RD'，
所以最好利用判定(4)证明两圆相切。
这个由相似三角形对应角相等，
对应线段成比例即可得到。
证明二：
依题意∠RAB=∠RA'B',∠RBA=∠RB'A',
∴△RAB∼△∠RA'B'。
又由相切知C,D和C',D'为相似对应点，
∴∠RDB=∠RD'B',
则DPD'R共圆。
又由相似对应知RC/RD=RC'/RD',
∴CC'//DD',
由上述判定(4)知
△DD'P和△CC'R的外接圆相切于R点。
注：
(1) 这是刚结束不久的今年的沙雷金几何奥林匹克第一阶段通讯赛的第8题，通讯赛共24题，难度基本是递增的。本题算是其中的中档题目。
(2) 本题虽然构图比较复杂，结果让证明两个三角形的外接圆相切看起来也挺“可怕”。但是结构很常见，对本结构熟悉的读者不难入手。上述证法一反复利用倒角，得到多组四点共圆，最终利用前文中的判定(3)完成证明，是一种常见而自然的思路。对完全四边形比较熟悉的读者不难发现其中的点R为四条直线AB,A’B’,AA’,BB’构成的完全四边形的密克点。证法二抓住相交两圆的核心性质——旋转相似，利用相似对应一语中的、直击肯綮，利用判定(4)秒杀本题。本题刻画了相交两圆的最基本最核心的性质，两种证明方法从不同角度阐释了此结构的性质，都值得初学者揣摩学习。
(3) 因为判定(2)和(3)是等价的，所以本题应该也可以用判定(2)完成证明。以后类似问题我们尽量选择其中的判定(3)，一般不再用判定(2)再证明一遍。
本文通过两个中档难度的题目展示了如何判定两圆相切的问题，上述四种判定方法都很简单，但是运用之妙、存乎一心，还有不少相对困难的此类问题值得探究。欲知后事如何，且听下回分解。
最短距离问题2
1、如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上，且OA＝OB.点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°,则AB长度的最大值为 _______.
2、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
初三数学知识点整理（九上 § 22.5用函数观点看方程）
第二十二章 二次函数
第五节 用函数的观点看一元二次方程
【学习目标】
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数 一元二次方程
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点诠释：
求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，
即 （△＞0）．
要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式
抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集
△＞0 或
△＝0 （或） 无解
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
