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童年噩梦“鸡兔同笼”问题里，为什么鸡和兔老被放在一起？
在十二生肖中，如果论可爱，那么兔兔肯定是能够名列前茅的。
但提到著名的“鸡兔同笼”问题，这份可爱，估计就要大打折扣了。
相信很多人都好奇过，为什么鸡和兔老被放在一起？今天我们就来了解一下。
“鸡兔同笼”问题
在其他国家都有变体
其实，“鸡兔同笼”问题不仅仅是中国小朋友终生难忘的数学思维启蒙问题，还是国家对外交流数学文化的代表。
这个问题最早见于我国的古籍，但在很多国家都有变体。
比如俄罗斯的“人狗问题”：一队猎人一队狗，两队并着一队走，数头一共三百六，数腿一共八百九。几个猎人几条狗？
在日本，“鸡兔同笼”问题被改编成为“龟鹤问题”。在其他国家，也都有相对应的版本。
在我国的古代名著《镜花缘》中也有类似“鸡兔同笼”问题的升级版：
众人在小整山观灯时，发现楼上的灯有两种，一种上面3个大球，下缀6个小球，另一种是上面3个大球，下缀18个小球，大灯球共有396个，小灯球共有1440个。
楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀2个小球，另一种一个大球，下缀4个小球，大灯球共有360个，小灯球共有1200个。请你算一算楼上楼下这四种灯各有多少个？
而至于为什么是鸡和兔被关在一起，应该只是数学家一时的脑洞大开，并无什么特定的缘故。毕竟，在我们的民俗文化中也没有这一传统。
有1500多年历史的
“鸡兔同笼”问题
首先，大家请听题：
这道著名的“鸡兔同笼”问题，折磨小朋友们可超过1500多年了。
南北朝时期，一部名为《孙子算经》的数学著作横空出世！这个孙子不是写《孙子兵法》的孙子，至于是谁也不清楚了。
《孙子算经》| 图源：sohu.com
这本书在后世并不出名，在历史上的学术地位也远远比不上那部早在汉朝就已经成书，收录了246个数学问题的《九章算术》。
就是在这本书里，记录了最早的“鸡兔同笼”问题。
同时，在这本古籍中也给出了解法：
这意思就是：
头的数量=1个鸡头+1个兔头=35个头
脚的数量=2只鸡脚+4只兔脚=94只脚
这样把脚的数量除2（半其足），就得到
一半脚的数量=1只鸡脚+2只兔脚=47只脚
这样头的数量=鸡数+兔数，一半脚的数量=鸡数+2倍兔数
于是用一半脚的数量减去头的数量，正好可以得到兔的数量，是12只，再根据总的头数是35，可以知道鸡的数量是23只。
由于在这个解题过程中，需要把鸡的脚数除以2让它只剩一只脚，因此这个解法还有一个好听的名字，叫“金鸡独立”法。
除了这种传统解法，还有画图法、列表法、假设法、方程法等等方法，研究起来非常有趣。
斐波那契中的兔子问题
说了半天我们中国数学里的兔兔，那么外国小朋友的数学作业里有兔兔么？当然，也是有的，兔兔不会放过每一个小朋友。
1202年，意大利数学家斐波那契在他出版的一本书中提出这样一个问题：
假设有一对刚出生的小兔子，一个月能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小免子。
按照每对刚出生的小兔子一个月后长成大兔子，每对大兔子每月生一对小兔子的规律进行下去，假设一年内没有兔子死亡，则一年后会有多少对免子？
我们可以先列个表算一下。
图源：作者自制
现在我们知道一年后会有233对兔子。如果按照这种规律计算下去，我们就会得到一个神奇的数列：
由于这个数列是数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入的，所以人们把它叫作“斐波那契数列”，也叫“兔子数列”。
当然要感谢兔兔惊人的繁殖能力，才能让这个问题有这么一个恰当的例子，否则，还真是不好换其他什么动物呢。只不过，这里要委屈一下澳大利亚人了，澳洲大陆表示，没人比我更懂兔子的繁殖。
仔细观察，我们会发现斐波那契数列很有意思，包含很多规律，比如：
从第三项起，每一项等于前面相邻两项之和；
每个奇数项(第一项除外)的平方都比前后与之相邻的两项之积大1；
每个偶数项的平方都比前后与之相邻的两项之积小1；
第3、6、9、12、…项的数，能被2整除；
第4、8、12、…项的数，能被3整除；
第 5、10、15、…项的数，能被5整除。
斐波那契数列包含的规律还有很多，大家可以自己找找看。比如，对数螺旋线和黄金分割也与斐波那契数列相关。
黄金螺旋与斐波那契数列有关，当数列转换成图像，就会得到这个在构图中很常见的弯曲螺旋。| 图源：canva.cn
好了，今天兔兔带大家学习了数学，过完年……接着好好写作业吧。
参考文献
[1] 容雷凤, 刘六艺. 鸡兔同笼问题的几种解法[J]. 中国科技纵横, 2011(4):2.
[2] 吴稳银. 鸡兔同笼问题与数学情感体验[J]. 新课程:教研版, 2014(12):137-137.
[3] 佟丽宁. 斐波那契与"兔子数列"[J]. 中学生数理化：七年级数学（人教版）, 2015(11):1.
[4] 方海泉, 周铁军, 桑宝祥,等. 对数螺线、黄金分割与斐波那契数列的完美统一的[J]. 数学理论与应用, 2009(4):4.
作者：郭玮宏 高级工程师
题图来源：萨摩耶007
编辑：一人白
转载内容仅代表作者观点
不代表中科院物理所立场
如需转载请联系原公众号
来源：上海科技馆
编辑：扫地僧
童年噩梦“鸡兔同笼”问题里，为什么鸡和兔老被放在一起？
在十二生肖中，如果论可爱，那么兔兔肯定是能够名列前茅的。
但提到著名的“鸡兔同笼”问题，这份可爱，估计就要大打折扣了。
相信很多人都好奇过，为什么鸡和兔老被放在一起？今天我们就来了解一下。
“鸡兔同笼”问题
在其他国家都有变体
其实，“鸡兔同笼”问题不仅仅是中国小朋友终生难忘的数学思维启蒙问题，还是国家对外交流数学文化的代表。
这个问题最早见于我国的古籍，但在很多国家都有变体。
比如俄罗斯的“人狗问题”：一队猎人一队狗，两队并着一队走，数头一共三百六，数腿一共八百九。几个猎人几条狗？
在日本，“鸡兔同笼”问题被改编成为“龟鹤问题”。在其他国家，也都有相对应的版本。
在我国的古代名著《镜花缘》中也有类似“鸡兔同笼”问题的升级版：
众人在小整山观灯时，发现楼上的灯有两种，一种上面3个大球，下缀6个小球，另一种是上面3个大球，下缀18个小球，大灯球共有396个，小灯球共有1440个。
楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀2个小球，另一种一个大球，下缀4个小球，大灯球共有360个，小灯球共有1200个。请你算一算楼上楼下这四种灯各有多少个？
而至于为什么是鸡和兔被关在一起，应该只是数学家一时的脑洞大开，并无什么特定的缘故。毕竟，在我们的民俗文化中也没有这一传统。
有1500多年历史的
“鸡兔同笼”问题
首先，大家请听题：
这道著名的“鸡兔同笼”问题，折磨小朋友们可超过1500多年了。
南北朝时期，一部名为《孙子算经》的数学著作横空出世！这个孙子不是写《孙子兵法》的孙子，至于是谁也不清楚了。
《孙子算经》| 图源：sohu.com
这本书在后世并不出名，在历史上的学术地位也远远比不上那部早在汉朝就已经成书，收录了246个数学问题的《九章算术》。
就是在这本书里，记录了最早的“鸡兔同笼”问题。
同时，在这本古籍中也给出了解法：
这意思就是：
头的数量=1个鸡头+1个兔头=35个头
脚的数量=2只鸡脚+4只兔脚=94只脚
这样把脚的数量除2（半其足），就得到
一半脚的数量=1只鸡脚+2只兔脚=47只脚
这样头的数量=鸡数+兔数，一半脚的数量=鸡数+2倍兔数
于是用一半脚的数量减去头的数量，正好可以得到兔的数量，是12只，再根据总的头数是35，可以知道鸡的数量是23只。
由于在这个解题过程中，需要把鸡的脚数除以2让它只剩一只脚，因此这个解法还有一个好听的名字，叫“金鸡独立”法。
除了这种传统解法，还有画图法、列表法、假设法、方程法等等方法，研究起来非常有趣。
斐波那契中的兔子问题
说了半天我们中国数学里的兔兔，那么外国小朋友的数学作业里有兔兔么？当然，也是有的，兔兔不会放过每一个小朋友。
1202年，意大利数学家斐波那契在他出版的一本书中提出这样一个问题：
假设有一对刚出生的小兔子，一个月能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小免子。
按照每对刚出生的小兔子一个月后长成大兔子，每对大兔子每月生一对小兔子的规律进行下去，假设一年内没有兔子死亡，则一年后会有多少对免子？
我们可以先列个表算一下。
图源：作者自制
现在我们知道一年后会有233对兔子。如果按照这种规律计算下去，我们就会得到一个神奇的数列：
由于这个数列是数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入的，所以人们把它叫作“斐波那契数列”，也叫“兔子数列”。
当然要感谢兔兔惊人的繁殖能力，才能让这个问题有这么一个恰当的例子，否则，还真是不好换其他什么动物呢。只不过，这里要委屈一下澳大利亚人了，澳洲大陆表示，没人比我更懂兔子的繁殖。
仔细观察，我们会发现斐波那契数列很有意思，包含很多规律，比如：
从第三项起，每一项等于前面相邻两项之和；
每个奇数项(第一项除外)的平方都比前后与之相邻的两项之积大1；
每个偶数项的平方都比前后与之相邻的两项之积小1；
第3、6、9、12、…项的数，能被2整除；
第4、8、12、…项的数，能被3整除；
第 5、10、15、…项的数，能被5整除。
斐波那契数列包含的规律还有很多，大家可以自己找找看。比如，对数螺旋线和黄金分割也与斐波那契数列相关。
黄金螺旋与斐波那契数列有关，当数列转换成图像，就会得到这个在构图中很常见的弯曲螺旋。| 图源：canva.cn
好了，今天兔兔带大家学习了数学，过完年……接着好好写作业吧。
参考文献
[1] 容雷凤, 刘六艺. 鸡兔同笼问题的几种解法[J]. 中国科技纵横, 2011(4):2.
[2] 吴稳银. 鸡兔同笼问题与数学情感体验[J]. 新课程:教研版, 2014(12):137-137.
[3] 佟丽宁. 斐波那契与"兔子数列"[J]. 中学生数理化：七年级数学（人教版）, 2015(11):1.
[4] 方海泉, 周铁军, 桑宝祥,等. 对数螺线、黄金分割与斐波那契数列的完美统一的[J]. 数学理论与应用, 2009(4):4.
作者：郭玮宏 高级工程师
题图来源：萨摩耶007
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小升初衔接｜小升初数学：复杂的鸡兔同笼和同余问题
复杂的鸡兔同笼问题专题训练
一、知识要点和基本方法
1．鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只．
(1)解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：
先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔．
(2)解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)．
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)．
注意，这两个基本关系式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，又知总数，所以另一个也就知道了．
2．鸡兔同笼问题的变型有两类：
(1)将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况：
已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只；
已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只；
已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只．
(2)将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引伸到同笼中不同东西是三种，四种等等．
注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决．
二、例题精讲
例1、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只?
分析：题目中给出了鸡、兔共有40只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也捆起来，也看成是一只脚，那么兔子就成了2只脚(即把兔子都当成两只脚的鸡)．鸡兔总的脚数是40×2=80(只)比题中所说的130只要少
130-80=50(只)．
现在松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2，即80+2=82．再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，即82+2=84，…一直继续下去，直至增加到50．因此，兔子数是
50÷2=25(只)．
实际上，这就是上述基本关系式(2)．
解：(130-40×2)÷(4-2) =(130-80)÷2 =50÷2 =25(只)．
40-25=15(只)．
答：笼子中有兔子25只，有鸡15只．
例2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种小虫各几只?
分析：此题中出现了3种昆虫，不仅有腿的比较，而且又出现了翅膀，显然比例1复杂了．解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫，这样解起来就比较容易了．
突破口在于：蝉和蜻蜓都有6条腿．
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目考虑，可以把昆虫分成“8条腿”和“6条腿”两种，利用基本关系式算出8条腿的
蜘蛛数=(140-6×21)÷(8-6) =(140-126)÷2 =14÷2 =7(只)．
因此，知道了6条腿的昆虫共有 21-7=14(只)，
也就是蜻蜓和蝉共有14只．因为蜻蜓和蝉共有24对翅膀，现在再用一次基本关系式，得
蝉数=(14×2-24)÷(2-1) =(28-24)÷1 =4(只)．
因此，蜻蜓数是14-4=10(只)．
答：有7只蜘蛛，4只蝉，10只蜻蜓．
例3、鸡与兔共40只，鸡的脚数比兔的脚数少70，问鸡与兔各多少只?
解：假设再补上70只鸡脚，也就是再有鸡70÷2=35(只)，则鸡与兔的脚数就相等，兔的脚数是鸡的脚数4÷2=2(倍)．于是鸡的只数是兔的只数的2倍．
因此，兔的只数是(40+70÷2)÷(2+1)=25(只)，
鸡的只数是 40-25=15(只)．
答：鸡15只，兔25只．
例4、在一个停车场上，停放的车辆(汽车和三轮摩托车)数恰好是24．其中每辆汽车有四个轮子，每辆摩托车有三个轮子．这些车共有86个轮子．那么，三轮摩托车有多少辆?
分析：我们可将汽车“看作兔子”，将三轮摩托车“看作鸡”，轮子“看作腿”，就可用鸡兔同笼的原理来解此题．
解：24辆车如果都算作汽车，那么将有24×4=96(个)轮子．比现有的86个多10个轮子．每一辆三轮摩托车比每一辆汽车少一个轮子，故要有10辆三轮摩托车来抵消10个轮子．
答：共有10辆三轮摩托车．
公式套用：若用基本关系式，鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
“翻译”为摩托车车辆数计算公式(这里将摩托车看作“鸡”)：
摩托车数=(汽车轮子数×车辆总数-轮子总数)÷(汽车轮子数-摩托车轮子数)，
即有摩托车数：(4×24-86)÷(4-3)=10(辆)．
三、专题特训
1．有一首民谣：“一队猎手一队狗，二队并着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九。”问民谣中有多少个猎手和多少条狗?
2．用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张?
3．春风小学3名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道倒扣3分，不做得0分，这3名同学都做了所有题．小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分．问他们三人一共答对了多少题?
4．某班同学外出春游，买车票99张，共花280元，其中单程每张2元，往返每张4元，问单程票与往返票相差几张?
5．某商场为招揽顾客举办购物抽奖，奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元，共有100人中奖，奖金总额为9500元．问其中二等奖有多少名?
6．有一堆硬币，面值为1分、2分、5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍，已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？
7．箱子里有红、白两种颜色的玻璃球．红球数是白球数的3倍多2个．每次从箱子里取出7只白球，15只红球．若经过若干次取球以后，箱子里剩下3只白球，53只红球．那么箱子里原有红球多少只?
8．甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中几发?
9．姣姣和甜甜两位同学进行数学比赛，商定算对一题给20分，错一题扣12分．姣姣和甜甜各算了10道题，两人共得208分，姣姣比甜甜多得64分，问姣姣和甜甜各算对了多少道题?
10．某种考试已举行了24次，共出了426题，每次出的题数有25道，或者16道，或者20道，那么，其中考25题的有多少次?
参考答案
1．猎手有275人，狗有85人。
2．最多可买1角邮票6张。
3．共答对了20道。
解：三人共得87+74+9=170(分)，比满分少300-170=130(分)，因此3人共做错130÷(10+3)=10(道)所以，共答对30-10=20(题)。
4．单程票比往返票多17张。
解：设99张均为往返票，应花99×4=396(元)，比实际多花396-280=116(元) ．因一张往返票比一张单程票多2元，所以单程票116÷2=58(张)，往返票有99-58=41(张)，两者相差17张。
5．二等奖13名。
设都是三等奖，奖金就多下9500-50×100=4500（元），一个一等奖要增加1000-50=950（元），一个二等奖要增加250-50=200（元）.因此
950×一等奖个数+200×二等奖个数=4500（元）.
很明显一等奖个数是偶数，2，4，6，….6×950＞4500.4×950余下的钱就不能被200整除，因此一等奖个数只能是2.
二等奖个数是
（4500－950×2）÷200=13（个）.
6．有5分硬币7个。
设2分硬币x个，则1分硬币11x个；1元＝100分，则100－（2x＋11x）能被5整除，试验可知当x＝5时，符合要求。那么，100－（2x＋11x）＝100－65＝35（分）。35÷5＝7（个）。
7．原有红球数为158只.
解：如果每次红球取3×7=21(只)，那么最后剩下的红球数仍应是剩下的白球数的3倍多2只，即3×3+2=11(只)，比现在少53-11=42(只)．这是由于每次多取了2l-15=6(只)红球．所以共取了42÷6=7(次)，因此，原有红球数为：7×15+53=158(只)。
8．甲中8发，乙中6发。
解：假设甲中10发,乙就中14-10=4(发).甲得4×10=40(分),乙得5×4-3×6= 2(分).比题目条件“甲比乙多10分”相差(40-2)-10=28(分),甲少中1发,少4+2=6(分),乙可增5+3=8(分).
28÷(6+8)=2.
甲中10-2=8(发).乙中14－8＝6（发）。
9．姣姣算对8道，甜甜算对6道。
解：姣姣得分（208＋64）÷2＝136（分）；甜甜得分208－136＝72（分）；假设她们都做对10道题，则每个人的总分各是200分。
姣姣差了200－136＝64分，姣姣错了64÷（20＋12）＝2（道），做对了10－2＝8（道）。
甜甜差了200－72＝128分，甜甜错了128÷（20＋12）＝4（道），做对了10－4＝6（道）。
10．其中考25题的有2次。
解：假设每次都考25题，则共考25×24＝600题，比实际情况多600－426＝174题。多的174题是因为有时考16道，有时考20题，那么考16道题一次相差25－16＝9题，考20道题一次相差25－20＝5题。试验174里面有多少个9？有多少个5？会出现两种情况：
第一种6个9，24个5 6＋24＞24 不符合题意
第二种16个9，6个5 16＋6＜24 符合题意 那么出25题的有24－16－6＝2次。
同余问题专题训练
一、知识梳理
1、同余的定义：若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作 “a同余b模m” 。
例如：17÷3=5……2
23÷3=7……2
17≡23(mod 3) 读作：17同余23模3或17，23对于模3同余。
2、同余的性质：
（1）一个数一定同余被模除后的余数。
（2）如果a≡b(mod m),且a≥b,那么m|(a-b)。
（3）a≡a(modm)(反身性）。
（4）若a≡b(mod m)，那么b≡a(modm)(对称性）。
（5）a≡b(modm), b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)(传递性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，所以 2≡17(mod 5)。
（6）a≡b(modm), c≡d(mod m)， 那么a±c≡b±d(mod m)(加减性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，
所以 2+12≡12+17(mod 5) 14≡29(mod 5)。
（7）若 a≡b(mod m), c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)(可乘性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，
所以 2×12≡12×17(mod 5) 24≡204(mod5)
（8）若 a≡b(mod m),那么an≡bn(mod m)(可乘方性) 。
例如：2≡12(mod 5)， 所以 23≡123(mod 5) 即8≡1728(mod 5)
（9）若ac≡bc(mod m),(c，m)=1互质,那么 a≡b(mod m)。
如：3×2≡5×2(mod 4)，但 3≡5(mod 4) 不成立。因为（2，4）≠1。
二、例题精讲。
例1、求263×13136×914的积除以13的余数.
分析：如果直接把这个三个数相乘，再用结果去除以13，显然计算量会很大，不可取。根据同余的可乘性，我们可先分别求出三个因数除以模13的余数（一个数一定同余被模除后的余数），再用余数相乘的积去除以模13得到余数。
解：263≡3(mod 13)，13136≡6(mod 13)，914≡4(mod 13)
根据同余的可乘性得:263×13136×914≡3×6×4 (mod 13)
3×6×4≡7(mod 13)
263×13136×914的积除以13的余数为7.
例2、用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
解：412－133＝279，412-257＝155，257－133＝124。
（279，155，124）＝31.三个数的最大公约数是31，所以a最大是31。
例3、求14349除以7的余数.
分析：根据同余的可乘方性可解此题，因为49＝32+16+1，所以只要求出143的32次方、16次方和143除以7余数是几，然后根据同余的可乘性来求出最终14349除以7的余数是几。
解：143≡3(mod 7),1432≡32≡2 (mod 7)
1434≡22≡4 (mod 7),1438≡42≡2 (mod 7)
14316≡22≡4 (mod 7),14332≡42≡2 (mod 7)
49=32+16+1
14349=14332×14316×1431
14349≡14332×14316×1431≡2×4×3≡3 (mod 7)即余数为3.
三、专题特训:1．一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是多少?
2．310被一个两位数除，余数是37，这个两位数是多少?
3．71427和19的积被7除，余数是几?
4．有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（且余数都不为0）．问这个整数是几?
5．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少?
6．31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少?
7、1991和1769除以某一个自然数n，余数分别为2和1，那么n最小是多少?
8、除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是几?
9、把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几?
10、求1919除以7的余数.
参考答案
1．解 设被除数为a，商为 b，依题意得：a = 23b + 2，被除数扩大4倍得：4a=92b+8，8＜23，所以余数是8．
2．解 310-37=273=3×7×13．大于37的两位数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39、91．
3．解 71427÷7余6，19÷7余5，那么两数的积被7除的余数是两数余数积被7除的余数，即
71427×19≡6×5 (mod 7)
6×5≡2(mod 7)
71427×19的积除以7的余数为2.
4．解 根据同余，300-262=38和262-205=57都被这个数整除．这个数是(38，57)=19．
5．解 设某数为x，则x+2同时被3、5、7整除，所以x的最小值为3×5×7-2=103．
6．解 因为31453÷4=7863……1，68765÷4=17191……1，987657÷4=246914……1，1×1×1=1，所以31453×68765×987657的积除以4余数是1．
7、解 1991-2=1989能被n整除，同理1769-1=1768也能被这个数n整除．所以n是1989与1768的最大公约数的约数，且应大于2．因为(1989，1768)-13×17，所以n最小是13．
8、解 因为除以3余1，除以5余2的最小数是22，而3和5的最小公倍数是15，所以符合条件的数可以是22，37，52，67，…．又因为67÷7=9……4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，…．所以，符合条件的最小三位数是172．
9、
解 把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，一位数写了1×9=9(个)数码，两位数写了2×90=180(个)数码，三位数写了(201-9-180)÷3=4(个)，即写到了99+4=103，因此由1开始的自然数依次写下来的201位数是由1开始的103个连续自然数组成的．经过观察发现，不论从哪开始，每连续3个自然数的各位上数字的和能被3整除．因为一共是103个自然数，所以103÷3=34……1，前102个自然数(3×34=102)的各位上数字之和都能被3整除，而201位数的最后三位数是103，所以：103÷3=34……1，即这个201位数除以3余数是1．
10、解
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「小升初数学专项复习」第九讲 （9.1） 鸡兔同笼问题
【基础概念】：鸡兔同笼问题也称置换问题：这类应用题常常把问题中的一个未知数假定为已知的，然后根据题目中的已知条件推算，其结果常与题目对应的已知数不符，再加以适当调整，就可以求出结果。此类应用题也称为假定法或比较法。基本数量关系式：
（1）假设全是鸡，兔的只数=（总腿数－总头数×2）÷2，鸡的只数=总头数－兔的只数；（2）假设全是兔，鸡的只数=（4×总头数－总腿数）÷2，兔的只数=总头数－鸡的只数。
【典型例题1】：鸡兔同关在一只笼里，共48个头，100只脚．问：鸡有多少只？兔有多少只？
【思路分析】：假设全是兔子，那么就有48×4=192只脚，这就比已知的100只脚多出了192-100=92只脚，因为1只兔比1只鸡多4-2=2只脚，由此即可求得鸡的只数，进而求得兔的只数。
解答：假设全是兔子，则鸡就有：
（48×4-100）÷（4-2）
=92÷2
=46（只）
则兔子有48-46=2（只）
答：鸡有46只，兔子有2只 。
【小结】：解决这类问题关键是假设之后，多出脚数与对应的鸡的只数的关系。此题也可以这样解答：设兔有x只，那么鸡有（48-x）只，由等量关系：鸡和兔共有100只脚，可得方程：4x+2（48-x）=100，解答即可。
【巩固练习】1、张洪正好用20元钱买了2元的邮票和5角的邮票，一共16张，问这两种邮票各有多少张？
2、鸡兔同笼，鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有168条，鸡和兔各有多少只？
【 答案及解析】：1.【解析】假设全是2元的邮票，则一共用2×16=32元，比实际多用32-20=12元，因为5角=0.5元，一张2元的比一张0.5元的多用2-0.5=1.5元，所以5角的共有：12÷1.5=8张，进而用减法即可求出2元的邮票张数。
【答案】5角=0.5元
5角的有：
（16×2-20）÷（2-0.5）
=12÷1.5
=8（张）
2元的有：16-8=8（张）
答：2元的有8张，5角的有8张。
2. 【解析】根据鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有168条，可知本题的数量关系：鸡的腿数+兔的腿数=168，据此等量关系可列方程解答。
【答案】解：设鸡有x只，根据题意得：
2x+4x=168
6x=168
x=168÷6
x=28
答：鸡和兔各有28只。
四年级数学数学广角“鸡兔同笼”学不会？三种方法教大家快速掌握
“鸡兔同笼”问题，可谓是小学数学广角中最经典了题目了，同时也是比较有难度的！很多同学现在看到这个题目，心里面可能还有阴影！
今天呢，给大家介绍几种方法！
不想看文字版的，可以看下之前发的，视频版讲解
三种方法轻松解决“鸡兔同笼”
比如下面这个例题：
笼了里有鸡免若干只，从上面数有8个头，从下面数有26只脚。问鸡和免各有多少只?
1、用列举法（画图法）：
列举法：用鸡和兔的数量分别一一类举，进行验证
画图法：画上鸡和兔总头数，然后逐一填上脚！
2、假设法：假设全是鸡，那么就有8×2=16只脚 这样与实际相差26-16=10只脚当我们把一只鸡想成一只免就多想了4-2=2只脚 说明笼了里10÷2=5只鸡被想成了兔子那么鸡应有8-5=3只3、抬脚法（假设法的简化版）： 把鸡和免都抬起两只脚，这时一共抬起了8×2=16只脚这时还剩下26-16=10只脚，这些都是免子的一只兔子还剩下4-2=2只脚，说明笼子里有10÷2=5只免子那么鸡应有8-5=3只练习题1、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只?
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2、 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只?
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参考答案1、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只?
解：有兔(44—2×16) ÷(4—2) =6(只) ，有鸡16—6=10(只) 。
答：有6只兔，10只鸡。
2、 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只?
解：有兔(2×100—20) ÷(2+4) =30(只) ，有鸡100-30=70(只) 。
答：有鸡70只，兔30只。
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